Статья 4315

Название статьи

                АЛГОРИТМ ПЕРЕМЕННОЙ СТРУКТУРЫ С ПРИМЕНЕНИЕМ ТРЕХСТАДИЙНЫХ МЕТОДОВ                         ТИПА РУНГЕ – КУТТЫ И РОЗЕНБРОКА

Авторы

Новиков Евгений Александрович, доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник, Институт вычислительного моделирования Сибирского отделения РАН (Россия, г. Красноярск, Академгородок, 50, стр. 44), atp@sstu.ru

Индекс УДК

519.622

Аннотация

Актуальность и цели. Проблема решения задачи Коши для жестких систем большой размерности возникает при моделировании физических и химических процессов, при аппроксимации уравнений в частных производных системой обыкновенных дифференциальных уравнений и во многих других важных приложениях. Учет большого числа факторов при построении математических моделей приводит к расширению класса задач, описываемых жесткими системами большой размерности. Сложность практических задач приводит к возрастающим требованиям к вычислительным алгоритмам.
Материалы и методы. В случае большой размерности жесткой системы дифференциальных уравнений основные затраты приходятся на декомпозицию матрицы Якоби. В некоторых алгоритмах применяется замораживание матри-цы Якоби, т.е. одна матрица используется на нескольких шагах интегрирова-ния. Проблема замораживания матрицы достаточно просто решается в методах, в которых стадии вычисляются с применением итерационного процесса. Для безытерационных численных формул это существенная проблема. В данной работе сокращение затрат достигается за счет комбинирования явных и L-устойчивых методов по критерию устойчивости в процессе расчетов.
Результаты. Создан алгоритм интегрирования переменной структуры на основе явной схемы типа Рунге – Кутты и L-устойчивого метода типа Розен-брока третьего порядка. На каждом шаге эффективная численная формула вы-бирается по критерию устойчивости. Оценка максимального собственного числа матрицы Якоби, необходимая для переключения между методами, для явных численных схем определяется степенным методом через ранее вычисленные стадии, а для метода типа Розенброка – через норму матрицы Якоби. Построены неравенства для контроля точности и устойчивости. Приведены ре-зультаты расчетов.
Выводы. Алгоритм интегрирования предназначен для решения жестких за-дач большой размерности. Результаты расчетов подтверждают эффективность построенного алгоритма.

Ключевые слова

жесткая система, схемы типа Рунге – Кутты и Розенброка, контроль точности и устойчивости, автоматический выбор метода.

Скачать статью в формате PDF
Список литературы

1. Hairer, E. Solving Ordinary Differential Equations I: Nonstiff and Differential-Algebraic Problems / E. Hairer, S. P. Norsett, G. Wanner. – Berlin : Springer-Verlag, – 1993. – 528 p.
2. Hairer, E. Solving Ordinary Differential Equations II: Stiff and Differential-Algebraic Problems / E. Hairer, G. Wanner. – Berlin : Springer-Verlag, 1996. – 614 p.
3. Новиков, E. А. Компьютерное моделирование жестких гибридных систем / Е. А. Новиков, Ю. В. Шорников. – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2012. – 451 с.
4. Rosenbrock, H. H. Some general implicit processes for the numerical solution of differential equations / H. H. Rosenbrock // Computer. – 1963. – № 5. – P. 329–330.
5. Новиков, E. A. Замораживание матрицы Якоби в методе типа Розенброка вто-рого порядка точности / В. А. Новиков, Е. А. Новиков, Л. А. Юматова // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 1987. – Т. 27, № 3. – С. 385–390.
6. Novikov, E. A. Numerical Integration of Stiff Systems with Low Accuracy / A. E. Novikov, E. A. Novikov // Mathematical Models and Computer Simulations. – 2010. – Vol. 2, № 4. – P. 443–452.
7. Novikov, E. A. Construction of algorithm for the integrating stiff differential equa-tions on no uniform schemes / E. A. Novikov // Soviet Math. Dokl. – 1984. – Vol. 30, № 2. – P. 358–361.
8. Новиков, Е. А. Явные методы для жестких систем / Е. А. Новиков.–Новоси-бирск:Наука,1997.–198с.
9. Fehlberg, E. Low order classical Runge-Kutta formulas with stepsize control and their application to some heat transfer problems / E. Fehlberg. – Washington : NASA T.R.R., 1969. – 316 p.
10. Dahlquist, G. A special stability problem for linear multistep methods / G. Dahlquist // BIT. – 1963. – Vоl. 3. – P. 23–43.
11. Демидов, Г. В. Исследование точности неявных одношаговых методов / Г. В. Демидов, Л. А. Юматова. – Новосибирск : Изд-во ВЦ СО АН СССР, 1976. – (Препринт № 25).
12. Демидов, Г. В. Оценка ошибки одношаговых методов интегрирования обык-новенных дифференциальных уравнений / Г. В. Демидов, Е. А. Новиков // Чис-ленные методы механики сплошной среды. – 1985. – Т. 16, № 1. – С. 27–39.
13. Enright, W. H. Comparing numerical methods for the solutions of systems of ODE’s / W. H. Enright, T. E. Hull // BIT. – 1975. – Vol. 15. – P. 10–48.

 

Дата создания: 09.02.2016 14:48
Дата обновления: 09.02.2016 15:38